1부터 홀수를 더하면 벌어지는 일. 사각수

1부터 홀수를 연속해서 더했을 때 보이는 재미있는 규칙에 대한 설명글입니다. 이 규칙이 성립하는 이유를 사각수, 그림, 등차수열의 합을 통해서 확인할 수 있습니다.

1부터 홀수를 연속해서 더하면 재미있는 규칙을 찾을 수 있어요. 그 규칙을 알아보고, 그림과 수학 개념을 이용해서 이해해보죠.

1부터 연속해서 홀수를 더하면?

1부터 홀수를 계속 더해보죠.

1. 1 = 1
2. 1 + 3 = 4
3. 1 + 3 + 5 = 9
4. 1 + 3 + 5 + 7 = 16
5. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
6. …

우변의 숫자들의 모양을 바꿔볼께요.

1. 1 = 1 = 1¹
2. 1 + 3 = 4 = 2²
3. 1 + 3 + 5 = 9 = 3²
4. 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²
5. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5²
6. …

우변이 모두 제곱인 수로 바뀌었어요. 순서대로 1, 2, 3, 4, 5, …의 제곱이에요.

다른 말로도 표현할 수 있어요.

좌변에서 더해지는 숫자의 개수가 3개면 우변은 3²이에요. 좌변의 숫자가 5개면 우변은 5²고요. 좌변에서 더해지는 숫자의 개수만큼 제곱합니다.

사각수, 그림으로 이해하기

좌변의 홀수들을 바둑돌로 표시해 볼까요?

바둑돌 1개에 니은(ㄴ)을 거꾸로 한 모양의 바둑돌을 계속 더해가는 그림이에요. 그림으로 보니까 이해하기 더 쉽나요?

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이렇게 사각형 모양으로 나타낼 수 있는 수를 사각수라고 해요. 자연수의 제곱으로 나타낼 수 있어서 제곱수라고도 하고요.

등차수열로 이해하기

홀수를 수열로 나타내면 첫째항이 1이고, 등차가 2인 등차수열이에요.

a₁ = 1, d = 2인 수열의 일반항은 a_n = a₁  + (n - 1)d = 1 + (n - 1) × 2 = 2n - 1

좌변은 홀수의 합이니까 등차수열의 합 공식으로 나타낼 수 있죠?

a₁ = 1, d = 2인 수열의 제1항부터 제n항까지의 합

\[ \begin{align}S_{n} &= \frac{n\{2a + (n-1)d\}}{2}\\ &= \frac{n\{2 + (n-1) \times 2\}}{2}\\ &= \frac{n(2 + 2n - 2)}{2}\\ &= n^{2}\end{align} \]

좌변의 항의 수가 n개라면 우변은 그 제곱인 n²이에요.

1 + 3 + 5 + 7 + + (2n - 1) = n²

그림으로도 식으로도 이해할 수 있기를 바라요.

이 특징을 활용해서 피타고라수의 수를 찾으러 가볼까요?