수학방

연속하는 자연수의 합 구하기

수학방 — Mon, 6 Apr 2026 12:35:45 +0900

연속하는 자연수 10개의 합

열개의 숫자 중 다섯번째 수의 뒤에 5 붙이기

재미있는 덧셈 하나 해볼까요?

아무 수나 상관없이 연속하는 자연수 10개를 더한 값을 쉽게 구할 수 있는 공식(?)이 있어요.

21부터 30까지 10개의 수를 더해볼까요?

21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 30 = ?

다섯 번째 수인 25를 기준으로 좌우 양쪽 수를 2개씩 더해보죠.

24 + 26 = 23 + 27 = 22 + 28 = 21 + 29 = 50

8개의 숫자를 더했고 여기에 다섯 번째 수인 25와 열 번째 수인 30까지 더해보죠.
50 × 4 + 30 + 25 = 255

다섯 번째 숫자인 25를 10배한 다음 5를 더한 것과 같죠?
25 × 10 + 5 = 255

(보너스) 왜 이런 규칙이 생기나요?

중학교 1학년 일차방정식의 활용에서 연속하는 자연수 문제를 풀 때 어떻게 했나요? 연속하는 자연수 중 가운데 수를 x라고 놓고, 다른 수들은 x ± 1, x ± 2, …로 놓고 풀었었죠?

여기서도 마찬가지로 다섯 번째 수를 x라고 놓으면 10개 자연수의 합은

$$(x - 4) + (x -3) + (x - 2) + (x - 1) + x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + (x + 4) + (x + 5)\\ =10x + 5$$

다섯번째 수인 x에 10을 곱하고 5를 더하면 되죠?

등차수열의 합을 이용해서 구하기

연속하는 자연수의 합이니까 등차수열이죠? $a_{5} = x$라고 해보죠.

$$a_{1} = x - 4\\a_{5} = x\\a_{10} = x + 5$$

등차수열이니까 등차수열의 합 공식을 이용해서 구해보죠.

$$\begin{align} S_{n} &= \frac{n(a_{1} + l)}{2}\\ &= \frac{10(x - 4 + x + 5)}{2}\\ &= \frac{10(2x + 1)}{2}\\ &= 10x + 5 \end{align} $$

연속하는 자연수의 합 규칙 찾기

그럼 이건 10개일 때만 가능한 방법일까요? 연속하는 자연수 5개, 6개, 7개일 때는 어떨까요?

같은 방법을 이용해보죠. 가운데 수를 x로 놓고, x ± 1, x ± 2, …로 놓아요.

연속하는 자연수 5개의 합
21 + 22 + 23 + 24 + 25
= (21 + 25) + (22 + 24) + 23
= 46 × 2 + 23
= 23 × 4 + 23
= 23 × 5
연속하는 자연수 6개의 합
21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26
= (21 + 26) + (22 + 25) + (23 + 24)
= 47 × 3
= 47 × (6 ÷ 2)
연속하는 자연수 7개의 합
21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27
= (21 + 27) + (22 + 26) + (23 + 25) + 24
= 48 × 3 + 24
= 24 × 6 + 24
= 24 × 7
연속하는 자연수 8개의 합
21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28
= (21 + 28) + (22 + 27) + (23 + 26) + (24 + 25)
= 49 × 4
= 49 × (8 ÷ 2)

규칙이 보이나요? x 양쪽 혹은 x를 포함해서 짝지어진 수를 더하면 같은 값이 나오고 이걸 곱하면 공식을 얻을 수 있어요.

연속하는 자연수의 합

더하는 개수가 홀수(3, 5, 7...)일 때:
(가운데 수) × (자연수 개수)
더하는 개수가 짝수(2, 4, 6...)일 때:
(가운데 수 두 수의 합) × (자연수 개수의 절반)

처음했던 21부터 10개의 숫자를 더해볼까요?

더하는 수가 10개로 짝수
가운데 두 수의 합 = 25 + 26 = 51
더하는 자연수 10개의 반 = 5
51 × 5 = 255

공식은 달랐지만 결과는 똑같죠?

실제로 계산을 하는 것도 재미있지만 이런 규칙을 찾는 과정도 재미있지 않나요?

[구구단 치트키] 지산법 - 손가락만 잘 펴도 계산이 된다.

수학방 — Mon, 30 Mar 2026 12:07:36 +0900

구구단 암기 없이 계산하는 법! 구두단에 숨겨진 수의 규칙을 찾아 계산 과정을 획기적으로 줄여주는 구구단 시리즈 중 5보다 크거나 같은 두 수를 곱하는 방법에 대한 설명입니다.

구구단, 무작정 외우느라 힘들지 않았나요? 이 글은 구구단 각 단에 숨어 있는 계산 치트키 규칙을 하나씩 정리하는 시리즈 중 5보다 크거나 같은 두 수를 곱할 때 사용할 수 있는 지산법에 대한 글이에요. 단순 암기가 아니라, 계산 과정을 줄여주는 규칙을 중심으로 살펴보죠.

이 글에서 알려주는 손가락 계산법 이것 딱 하나만 기억하면 그런 불필요한 과정을 줄이고 원하는 답을 곧바로 찾을 수 있어요.

외우는 구구단이 아니라 즐거운 숫자놀이 구구단으로 만들어 볼까요?

5보다 크거나 같은 두 수의 곱

손가락은 오른손, 왼손 각 5개씩 총 10개예요. 이 10개의 손가락만 잘 펼치고 접으면 구구단을 쉽게 할 수 있어요.

5보다 크거나 같은 두 수: "손가락을 더하고 곱하기"

손으로 수를 표현하고 펼친 손가락과 접힌 손가락의 수를 더하거나 곱한다.

(십의 자리 수): 펼친 손가락의 개수를 더한 수
(일의 자리 수): 접힌 손가락의 개수를 곱한 수

손가락을 이용한 계산법으로 지산법이라고 불러요.

실제로 해보죠.

(1) 5 × 9 = ?
(2) 6 × 8 = ?

(1)번 5 × 9 부터 풀어보죠.

손으로 숫자 5를 만들어볼까요? 여러 방법이 있겠지만 오른손은 손가락 5개를 다 펴고, 왼손은 손가락 5개를 다 접어서 숫자 5를 표현할 수 있어요.

숫자 9는요? 오른손 손가락 5개를 다 펴고, 왼손은 손가락 4개를 펴고, 1개는 접으면 숫자 9를 표현할 수 있어요.

위 그림에서 왼쪽 부분이에요.

여기서 손가락 5개를 다 펼친 오른손은 신경쓰지 말고, 접힌 손가락이 있는 왼손만 볼까요?

숫자 5는 왼손 손가락이 모두 접혀져 있어요. 그대로 둬요.

숫자 9는 왼손 손가락 4개는 펴고, 1개는 접었잖아요? 이걸 오른손으로 똑같이 표현해줘요. 그러면 위 그림에서 오른쪽 부분처럼 되겠죠?

왼손은 5의 일부를, 오른손을 9의 일부를 표현해요.

십의 자리 수
= (5를 나타내는 왼손에서 펼친 손가락의 수 0)
+ (9를 나타내는 오른손에서 펼친 손가락의 수 4)
= 4
일의 자리 수
= (5를 나타내는 왼손에서 접힌 손가락의 수 5)
× (9를 나타내는 오른손에서 접힌 손가락의 수 1)
= 5
5 × 9 = 45

(2)번 6 × 8 풀이예요.

6을 왼손 손가락으로 나타낸다.
손가락 1개를 펴고, 4개는 접는다.
8을 오른손 손가락으로 나타낸다.
손가락 3개를 펴고, 2개는 접는다.

십의 자리 수
= (6을 나타내는 왼손에서 펼친 손가락의 수 1)
+ (8를 나타내는 오른손에서 펼친 손가락의 수 3)
= 4
일의 자리 수
= (6를 나타내는 왼손에서 접힌 손가락의 수 4)
× (8를 나타내는 오른손에서 접힌 손가락의 수 2)
= 8
6 × 8 = 48

(보너스) 왜 이런 규칙이 생기나요?

중학교 1학년 문자와 식, 대입을 이용해서 증명할 수 있어요.

7은 5 + 2로 나타낼 수도 있고, 10 - 3으로 나타낼 수도 있어요. 여기서 더해주는 2는 펼친 손가락의 개수이고, 빼주는 3은 접힌 손가락의 개수로 둘을 더하면 5죠?

마찬가지로 어떤 수 x는 5 + a = 10 - m으로 나타낼 수 있어요. a는 펼친 손가락 개수, m은 접힌 손가락 개수로 a + m = 5예요.

x = 5 + a = 10 - m, a + m = 5
y = 5 + b = 10 - n, b + n = 5

a + m + b + n = 10
a + b = 10 - (m + n)

xy
= (10 - m)(10 - n)
= 10² - 10(m + n ) + mn
= 10{10 - (m + n)} + mn
= 10(a + b) + mn (∵ a + b = 10 - (m + n))

십의 자리 수는 (a + b), 일의 자리 수는 mn이라는 걸 알 수 있어요.

일의 자리에서 받아올림

한 문제 더 풀어볼까요?

(1) 6 × 7 = ?
(2) 6 × 6 = ?

(1)번 6 × 7 부터 풀어보죠.

6을 왼손 손가락으로 나타낸다.
손가락 1개를 펴고, 4개는 접는다.
7을 오른손 손가락으로 나타낸다.
손가락 2개를 펴고, 3개는 접는다.

십의 자리 수
= (6을 나타내는 왼손에서 펼친 손가락의 수 1)
+ (7을 나타내는 오른손에서 펼친 손가락의 수 2)
= 3
일의 자리 수
= (6를 나타내는 왼손에서 접힌 손가락의 수 4)
× (7을 나타내는 오른손에서 접힌 손가락의 수 3)
= 12

덧셈을 할 때, 일의 자리 수가 10보다 크면 어떻게 하나요? 십의 자리로 받아올림을 해주죠? 여기서도 받아올림을 해줘요. [구구단 치트키] 11단에 숨겨진 가르고 더하는 규칙에서도 받아올림을 하는 경우가 있었어요.

십의 자리 수 3 + 받아올림 1 = 4
일의 자리 수 = 12 - 받아올림한 10 = 2
6 × 7 = 42

(2)번 6 × 6을 풀어보죠.

6을 왼손 손가락으로 나타낸다.
손가락 1개를 펴고, 4개는 접는다.
6을 오른손 손가락으로 나타낸다.
손가락 1개를 펴고, 4개는 접는다.
십의 자리 수
= (6을 나타내는 왼손에서 펼친 손가락의 수 1)
+ (6을 나타내는 오른손에서 펼친 손가락의 수 1)
= 2
일의 자리 수
= (6를 나타내는 왼손에서 접힌 손가락의 수 4)
× (6을 나타내는 오른손에서 접힌 손가락의 수 4)
= 16

십의 자리 수 2 + 받아올림 1 = 3

일의 자리 수 = 16 - 받아올림한 10 = 6

6 × 6 = 36

5보다 작은 수는 안될까?

손가락 곱셈은 숫자를 5를 기준으로 얼마나 큰지로 바꿔 계산하는 방법이에요.

6 = 6 + 1, 7 = 5 + 2 처럼 바꿔서 계산한 거예요.

그래서 5 이상 숫자에서만 자연스럽게 사용할 수 있어요.

5보다 작은 수(1 ~ 4)는 5개 손가락 안에서 '남는 숫자'가 없어서 펴야 할 손가락이 없어요. 그래서 이 마법은 양쪽 숫자가 모두 5보다 클 때(6 ~ 9단)만 계산할 수 있어요. 2 ~ 4단은 우리가 앞서 배운 다른 규칙들을 활용하는 게 훨씬 빨라요.

구구단 치트키 시리즈

아이콘 출처 손가락 아이콘 제작자: Dai - Flaticon

[구구단 치트키] 11단에 숨겨진 가르고 더하는 규칙

수학방 — Mon, 23 Mar 2026 12:12:34 +0900

구구단 암기 없이 계산하는 법! 각 단에 숨겨진 수의 규칙을 찾아 계산 과정을 획기적으로 줄여주는 구구단 시리즈 중 11단에 대한 설명입니다.

구구단, 무작정 외우느라 힘들지 않았나요? 이 글은 구구단 각 단에 숨어 있는 계산 치트키 규칙을 하나씩 정리하는 시리즈 중 11단에 대한 글이에요. 단순 암기가 아니라, 계산 과정을 줄여주는 규칙을 중심으로 살펴보죠.

이 글에서 알려주는 가르고 더하기 이것 딱 하나만 기억하면 그런 불필요한 과정을 줄이고 원하는 답을 곧바로 찾을 수 있어요.

외우는 구구단이 아니라 즐거운 숫자놀이 구구단으로 만들어 볼까요?

11에 한 자리 수(1 ~ 9)를 곱할 때

11과 1 ~ 9까지의 수를 곱할 때예요.

이건 너무 간단해요. 곱하는 수를 2번 연달아 써요.

1 ~ 9를 곱할 때: "두 번 쓰기"

(곱하는 수)를 연달아 2번 쓴다.

(십의 자리 수): 곱하는 수
(일의 자리 수): 곱하는 수

실제로 해보죠.

(1) 11 × 8 = ?
(2) 11 × 4 = ?

(1)번 11 × 8 부터 풀어보죠.

곱하는 수 8를 연달아 2번 쓴다.
(8 옆에 8을 나란히 써준다)
8 → 88
결과는 11 × 8 = 88

(2)번 11 × 4 풀이예요.

곱하는 수 4를 연달아 2번 쓴다.
4 → 44
결과는 11 × 4 = 44

(보너스) 왜 이런 규칙이 생기나요?

9단 자릿수 합의 법칙에서 했던 것과 비슷한데요.

11 = 10 + 1이니까 11을 곱한다는 건 어떤 수를 10배를 하고 한 번 더 더하는 거예요.

중학교 1학년 때 공부하는 분배법칙을 이용하면 간단하게 증명할 수 있어요.

11 × a
= (10 + 1) × a (∵ 11 = 10 + 1)
= 10 × a + a (∵ 분배법칙으로 전개)

10 × a + a는 십의 자리 수도 a, 일의 자리 수도 a라는 뜻이라서 같은 수 a를 연달아 두 번 쓰면 돼요.

11에 두 자리 수(10 ~ 99)를 곱할 때

11과 두 자리 수를 곱하면 대부분 그 결과는 세 자리 자연수예요. 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리가 있어요.

백의 자리 수는 곱하는 수의 십의 자리 수와 같아요.

십의 자리 수는 곱하는 수의 십의 자리 수와 일의 자리 수를 더한 것과 같고요.

일의 자리 수는 곱하는 수의 일의 자리 수와 같아요.

두 자리 수를 곱할 때: "곱하는 수를 가르고 더하기"

(백의 자리 수): 곱하는 수의 (십의 자리 수)
(십의 자리 수): 곱하는 수의 (십의 자리 수) + (일의 자리 수)
(일의 자리 수): 곱하는 수의 (일의 자리 수)

실제로 해보죠.

(1) 11 × 16 = ?
(2) 11 × 13 = ?

(1)번 11 × 16 부터 풀어보죠.

(백의 자리 수)는 곱해지는 수 16의 (십의 자리 수) 1.
(십의 자리 수)는 곱해지는 수 16의 (십의 자리 수 1) + (일의 자리 수 6) = 7.
(일의 자리 수)는 곱해지는 수 16의 (일의 자리 수) 6.
결과는 11 × 13 = 176

(2)번 11 × 13 풀이예요.

11 × 13 = ?
→ 1 (1 + 3) 3
→ 143

이제, 11 × 7과 11 × 17를 직접 구해보세요.

(보너스) 왜 이런 규칙이 생기나요?

11을 곱한다는 건 어떤 수를 10배를 하고 한 번 더 더하는 거예요.

어떤 수를 10배하면 그 수의 일의 자리는 십의 자리로 바뀌니까 원래 수와 더할 때 원래 수의 십의 자리 수와 더하는 거예요.

이건 중학교 3학년 때 공부하는 다항식 × 다항식으로 증명할 수 있어요.

11 = 10 + 1이고, 두 자리 자연수는 10a + b로 나타낼 수 있어요.

11 × (10a + b)
= (10 + 1)(10a + b)
= 100a + 10a + 10b + b
= 100a + 10(a + b) + b

백의 자리 수는 a, 십의 자리 수는 (a + b), 일의 자리 수는 b에요.

십의 자리에서 받아올림

여기는 조금 어려워지니까 읽고 싶은 사람만 읽어요.

(십의 자리 수)를 구할 때, 예외적인 경우가 생기는 데 이때를 주의해야 해요.

(십의 자리 수)는 곱하는 수의 십의 자리 수와 일의 자리 수를 더해서 구하는데, 이 합이 10보다 크거나 같을 때가 있어요. 이럴 때 어떻게 해야하는지 알아보죠.

(1) 11 × 19 = ?
(2) 11 × 47 = ?

(1)번 11 × 19 부터 풀어보죠.

11 × 19
→ 1 (1 + 9) 9
→ 1 10 9
→ 1109

십의 자리가 10이라서 결과가 ~~1109~~가 나와요. 실제 결과는 이게 아니거든요. 11 × 19의 결과는 세자리예요.

보통 덧셈을 할 때, 한 자릿수의 합을 구했더니 10보다 크거나 같으면 어떻게 하나요? 10을 바로 앞자리로 받아올림하고 남은 수만 쓰죠? 여기서도 똑같아요.

십의 자리를 구했더니 10이잖아요. 그럼 10은 백의 자리로 받아올림하고 남은 0만 써요.

(백의 자리 수)는 원래 곱하는 수 19의 십의 자리 수 1였는데, 결과의 십의 자리에서 1이 받아올림돼서 1 + 1 = 2가 되고, (십의 자리 수)는 10이 아니라 0이에요.

11 × 19
→ 1 (1 + 9) 9
→ 1 10 9
→ (1 + 1) 0 9
→ 209

11 × 19 = ~~1109~~ (X)
11 × 19 = 209 (O)

(2)번 11 × 47 풀이예요.

11 × 47
→ 4 (4 + 7) 7
→ 4 11 7
→ (4 + 1) 1 7
→ 517

(보너스) 왜 이런 규칙이 생기나요?

앞서 얘기했던 규칙의 이유에 이어서 설명할게요.

11 × (10a + b)
= 100a + 10(a + b) + b

a + b ≥ 10이면 a + b = 10 + c로 쓸 수 있죠?

100a + 10(a + b) + b
= 100a + 10(10 + c) + b
= 100a + 100 + 10c + b
= 100(a + 1) + 10c + b
= 100(a + 1) + 10(a + b - 10) + b

백의 자리에서 받아올림

수가 더 커지면 (백의 자리 수)에서도 받아올림이 생기는 경우가 있어요. 그때는 천의 자리로 받아올림하고 백의 자리는 남은 수 0만 쓰면 돼요.

11 × 98
→ 9 (9 + 8) 8
→ 9 17 8
→ (9 + 1) 7 8
→ 1078

구구단 치트키 시리즈

[구구단 치트키] 6단에 숨겨진 짝수의 법칙

수학방 — Mon, 16 Mar 2026 12:30:06 +0900

구구단 암기 없이 계산하는 법! 각 단에 숨겨진 수의 규칙을 찾아 계산 과정을 획기적으로 줄여주는 구구단 시리즈 중 6단에 대한 설명입니다.

구구단, 무작정 외우느라 힘들지 않았나요? 이 글은 구구단 각 단에 숨어 있는 계산 치트키 규칙을 하나씩 정리하는 시리즈 중 6단에 대한 글이에요. 단순 암기가 아니라, 계산 과정을 줄여주는 규칙을 중심으로 살펴보죠.

외우는 구구단이 아니라 즐거운 숫자놀이 구구단으로 만들어 볼까요?

6에 짝수를 곱할 때

구구단 6단에는 짝수를 곱할때 특별한 규칙이 있어요.

6의 짝수 곱은 두 자리 수로 되어 있어요. 이때, (십의 자리 수)는 곱하는 수의 절반이고, (일의 자리 수)자는 곱하는 수와 같아요.

짝수를 곱할 때

(십의 자리 수): 곱하는 수의 절반
(일의 자리 수): 곱하는 수

(1) 6 × 4 = ?
(2) 6 × 8 = ?

(1)번 6 × 4부터 풀어보죠.

곱하는 수 4의 절반을 구한다.
4 → 2
①에서 구한 2 뒤에 곱하는 수 4를 붙인다.
2 → 24
결과는 6 × 4 = 24

(2)번 6 × 8 풀이예요.

곱하는 수 8의 절반을 구한다.
8 → 4
①에서 구한 4 뒤에 곱하는 수 8를 붙인다.
4 → 48
결과는 6 × 8 = 48

6에 홀수를 곱할 때

홀수를 곱할 때는 짝수처럼 한 번에 딱 보이는 규칙은 없지만, 우리가 방금 배운 짝수 규칙을 활용하면 아주 쉬워요!

곱하려는 홀수 바로 앞에 있는 짝수의 결과에 6을 더해줘요.

홀수를 곱할 때: "짝수 결과 + 6"

바로 앞 짝수의 곱을 구한다.
(십의 자리 수는 절반, 일의 자리 수는 그대로)
그 결과에 6을 더한다.

실제로 한 번 해볼까요?

(1) 6 × 5 = ?
(2) 6 × 9 = ?

(1)번 6 × 5부터 풀어보죠.

곱하는 홀수의 바로 앞 짝수를 구한다.
5 → 4
6과 ①에서 구한 4의 곱을 구한다. (6의 짝수 곱 규칙)
6 × 4 = 24
②에서 구한 24에 6을 더한다.
24 + 6 = 30
결과는 6 × 5 = 30

(2)번 6 × 9 풀이예요.

곱하는 홀수의 바로 앞 짝수를 구한다
9 → 8
6과 ①에서 구한 8의 곱을 구한다. (6의 짝수 곱 규칙)
6 × 8 = 48
②에서 구한 48에 6을 더한다.
48 + 6 = 54
결과는 6 × 9 = 54

6 × 9는 6을 9번 더하는 거잖아요. 그럼 6을 8번 더하고 거기에 1번 더 더하는 것과 같죠?

6 × 9를 6 × 8 + 6으로 계산하는 방법이에요.

이제 6 × 6과 6 × 7도 구해보세요.

마지막으로 곱하는 홀수 바로 뒤 짝수의 곱에서 6을 빼는 규칙에 도전해볼 친구 있나요?

6 × 9
=6 × 8 + 6
= 6 × 10 - 6

구구단 치트키 시리즈

5단 반으로 나누기
6단 짝수의 법칙(현재글)
9단 자릿수 합의 법칙

[구구단 치트키] 5단에 숨겨진 반으로 나누는 규칙

수학방 — Mon, 9 Mar 2026 03:32:04 +0900

구구단 암기 없이 계산하는 법! 각 단에 숨겨진 수의 규칙을 찾아 계산 과정을 획기적으로 줄여주는 구구단 시리즈 중 5단에 대한 설명입니다.

구구단, 무작정 외우느라 힘들지 않았나요? 이 글은 구구단 각 단에 숨어 있는 계산 치트키 규칙을 하나씩 정리하는 시리즈 중 5단에 대한 글이에요. 단순 암기가 아니라, 계산 과정을 줄여주는 규칙을 중심으로 살펴보죠.

구구단 5단은 끝자리(일의 자리 수)가 0과 5가 반복되죠. 그래서 5단을 외울 때, 대개는 끝자리가 0, 5가 반복되는 규칙을 이용해서 외워요.

그런데 막상 "5 × 7은 얼마야?" 하고 물으면 답만 바로 말해야 하는데, 실제로는 5 × 1 = 5, 5 × 2 = 10, 5 × 3 = 15,… 처럼 순서대로 떠올리며 답을 찾는 경우가 많아요.

이 글에서 알려주는 반으로 나누기 이것 딱 하나만 기억하면 그런 불필요한 과정을 줄이고 원하는 답을 곧바로 찾을 수 있어요.

외우는 구구단이 아니라 즐거운 숫자놀이 구구단으로 만들어 볼까요?

5에 짝수를 곱하는 경우

5에 2, 4, 6, 8처럼 짝수를 곱하는 걸 먼저 알아보죠.

답은 간단해요. 곱하는 수의 절반 뒤에 숫자 '0'을 붙여줘요.

왜 0이냐면 5에 짝수를 곱하면 (일의 자리 수)가 0이니까요.

5 × (짝수) → (일의 자리 수)는 0
5 × (홀수) → (일의 자리 수)는 5

짝수를 곱할 때: "반 나누고 0 붙이기"

(곱하는 수의 반)에 숫자 '0'을 붙인다.

(십의 자리 수): 곱하는 수의 절반
(일의 자리 수): 0

실제로 해보죠.

(1) 5 × 4 = ?
(2) 5 × 8 = ?

(1)번 5 × 4 부터 풀어보죠.

곱하는 수 4의 절반을 구한다.
4 → 2
①에서 구한 2 뒤에 0을 붙인다.
(2 옆에 0을 나란히 써준다)
2 → 20
결과는 5 × 4 = 20

(2)번 5 × 8 풀이예요.

곱하는 수 8의 절반을 구한다.
8 → 4
①에서 구한 4 뒤에 0을 붙인다.
4 → 40
결과는 5 × 8 = 40

(보너스) 왜 이런 규칙이 생기나요?

5는 10의 절반이잖아요. 그래서 5배 하는 건 10배를 하고 반으로 나누는 거랑 같아요.

이걸 계산 순서만 바꿔서 곱하는 수를 먼저 반으로 나누고, 그 다음 10배 하는 거죠.

이건 중학교 1학년 때 공부하는 곱셈에 대한 결합법칙으로 설명할 수 있어요.

5 × n
= (10 ÷ 2) × n
= (10 × $\frac{1}{2}$) × n (∵ ÷2 = × $\frac{1}{2}$)
= 10 × ($\frac{1}{2}$ × n) (∵ 곱셈에 대한 결합법칙)

그럼 왜 10배를 안하고 숫자 0을 붙일까?

어떤 수를 10배하는 건 그 숫자 뒤에 '0'을 붙여주는 것과 같으니까요.

3을 10배 → 30
3 뒤에 '0' 붙이기 → 30

5에 홀수를 곱하는 경우

짝수를 곱할 때보다 먼가 복잡해 보이지만, 곱하는 수에서 1을 빼는 딱 한 단계만 더 늘어난 거예요.

홀수를 곱할 때는 곱하는 홀수보다 1 작은 짝수를 구하고, 그 짝수의 절반 뒤에 숫자 '5'을 붙여줘요. 5에 홀수를 곱하면 (일의 자리 수)가 5니까요.

짝수를 곱할 때는 그냥 곱하는 수의 절반이었고, 홀수를 곱할 때는 곱하는 수에서 1뺀 다음 절반이에요.

홀수를 곱할 때: "1 빼서 반 나누고 5 붙이기"

(곱하는 수 - 1)의 반에 숫자 '5'를 붙인다.

(십의 자리 수): (곱하는 수 - 1)의 절반
(일의 자리 수): 5

(1) 5 × 3 = ?
(2) 5 × 7 = ?

(1)번 5 × 3 부터 풀어보죠.

곱하는 수 3 보다 1 작은 수를 구한다.
3 - 1 = 2
①에서 구한 2의 절반을 구한다.
2 → 1
②에서 구한 1 뒤에 숫자 '5'를 붙인다.
(1 옆에 5를 나란히 써준다)
15
결과는 5 × 3 = 15

(2)번 5 × 7을 풀어보죠.

곱하는 수 7 보다 1 작은 수를 구한다.
7 - 1 = 6
①에서 구한 6의 절반을 구한다.
6 → 3
②에서 구한 3 뒤에 숫자 '5'를 붙인다.
35
결과는 5 × 7 = 35

이제, 5 × 6과 5 × 5를 직접 구해보세요.

구구단 치트키 시리즈

5단 반으로 나누기(현재글)
9단 자릿수 합의 법칙

[구구단 치트키] 9단에 숨겨진 자릿수 합의 법칙

수학방 — Mon, 2 Mar 2026 12:04:03 +0900

구구단 암기 없이 계산하는 법! 각 단에 숨겨진 수의 규칙을 찾아 계산 과정을 획기적으로 줄여주는 구구단 시리즈 중 9단에 대한 설명입니다.

구구단, 무작정 외우느라 힘들지 않았나요? 이 글은 구구단 각 단에 숨어 있는 계산 치트키 규칙을 하나씩 정리하는 시리즈 중 9단에 대한 글이에요. 단순 암기가 아니라, 계산 과정을 줄여주는 규칙을 중심으로 살펴보죠.

외우는 구구단이 아니라 즐거운 숫자놀이 구구단으로 만들어 볼까요?

방법 1. "합은 언제나 9!" 자릿수 규칙 활용하기

9단의 결과값(두 자리 수 기준)은 아주 특별한 공통점이 있어요. (십의 자리 수)와 (일의 자리 수)를 더하면 항상 9가 된다는 사실! (단, 9 × 1은 제외)

18 → 1 + 8 = 9
27 → 2 + 7 = 9
36 → 3 + 6 = 9
…

(십의 자리 수)는 9에 곱해지는 수를 이용해서 구할 수 있어요. 바로 (십의 자리 수)는 9에 곱해지는 수보다 1 작아요.

9에 곱해지는 수가 7: 결과의 (십의 자리 수)는 1 작은 6
9에 곱해지는 수가 9: 결과의 (십의 자리 수)는 1 작은 8

(십의 자리 수)를 구했으니 (십의 자리 수)와 더해서 9가 되는 수를 찾으면 그 수가 (일의 자리 수)예요.

9단 규칙: 자릿수 합은 9

(십의 자리 수) = (곱해지는 수) − 1
(일의 자리 수) = 9 − (십의 자리 수)

직접 한 번 해볼까요?

9 × 7 = ?

(십의 자리 수)는 곱해지는 수 7보다 1 작은 6.
(일의 자리 수)는 (십의 자리 수) 6과 더해서 9가 되는 3.
결과는 9 × 7 = 63

9 × 9 = ?

(십의 자리 수)는 곱해지는 수 9보다 1 작은 8.
(일의 자리 수)는 (십의 자리 수) 8과 더해서 9가 되는 1.
결과는 9 × 9 = 81

어때요? 참 쉽죠?

방법 2. "10에서 빼기" 원리 활용하기

이 번째 방법은 뺄셈을 이용하는 방법으로 암산이 빠른 친구들에게 추천하는 방법이에요!

조금 더 자세히 얘기하면 9를 (10 − 1)로 생각해서 계산하는 방법이에요. 10배를 한 다음에 그 수만큼을 빼면 9배 한 것과 같잖아요.

먼저 9에 곱해지는 수를 10배 해주고, 다시 그 수만큼 빼줘요.

9단 규칙: 10배에서 빼기

9 × (어떤 수)
= (10 × 어떤 수) - (어떤 수)

이것도 직접 한 번 해보죠.

9 × 7 = ?

곱해지는 수 7에 10을 곱한다.
10 × 7 = 70
①에서 구한 70에서 곱해지는 수 7을 뺀다.
70 - 7 = 63
결과는 9 × 7 = 63

9 × 9 = ?

곱해지는 수 9에 10을 곱한다.
10 × 9 = 90
①에서 구한 90에서 곱해지는 수 9을 뺀다.
90 - 9 = 81
결과는 9 × 9 = 81

(보너스) 왜 이런 규칙이 생기나요?

중학교 1학년 때 공부하는 분배법칙을 이용하면 간단하게 증명할 수 있어요.

9 × a
= (10 - 1) × a (∵ 9 = 10 - 1)
= 10 × a - a (∵ 분배법칙으로 전개)

즉, 어떤 수에 10을 곱한 것에서 그 수 자체를 한 번 빼는 것과 원리가 같답니다.

이제 9×6, 9×8도 같은 방법으로 직접 한 번 계산해 보세요.

삼각형의 외심을 활용하여 원주각과 중심각 크기의 관계 이해하기

수학방 — Mon, 23 Feb 2026 12:44:53 +0900

삼각형 외심을 활용하여 중심각의 크기가 원주각 크기의 2배인 이유를 좀 더 쉽게 이해할 수 있도록 설명합니다.

아래 그림은 2학년 때 삼각형 외심의 활용에서 봤던 그림인데, 기억하고 있죠? 문제도 많이 풀었잖아요. ∠AOB = 2∠P

∠AOB = 2∠P

점 O는 삼각형의 외심이니까 점 O를 중심으로 하고 세 꼭짓점 점 P, A, B를 지나는 외접원을 그릴 수 있겠죠? 원을 그리면 $\overset{\huge\frown}{AB}$가 있어요.

삼각형 외심의 성질에 따라 ∠AOB = 2∠P예요. 여기서 ∠AOB는 $\overset{\huge\frown}{AB}$의 중심각이고, ∠P는 $\overset{\huge\frown}{AB}$의 원주각이죠? (중심각의 크기) = 2 × (원주각의 크기)인 걸 알 수 있어요.

삼각형 외심의 활용에 함께 설명되어 있는 삼각형 외심의 위치까지 생각하면 삼각형이 예각삼각형인지 직각삼각형인지 둔각삼각형인지에 상관없이 (중심각의 크기) = 2 × (원주각의 크기)가 성립하는 걸 확인할 수 있어요.

원의 외접사각형

<< 중3 수학 >>

원주각과 중심각의 크기

피타고라수의 수 찾기

수학방 — Mon, 16 Feb 2026 12:25:39 +0900

피타고라스의 수의 뜻과 특징, 종류에 대해 알아보고, 특징을 이용하여 새로운 피라타고스의 수 조합을 찾는 방법에 대해 설명합니다.

삼각형 세 변의 길이 a, b, c가 a² + b² = c²를 만족할 때, 이 삼각형은 직각삼각형이고, 이걸 피타고라스의 정리라고 하죠. 그리고 피타고라스의 정리를 만족하는 수들의 조합을 피타고라스의 수라고 해요.

피타고라스의 수 중에서 잘 알고 있는 게, (3, 4, 5), (5, 12, 13)이죠. 이거 말고 다른 수들의 조합도 찾아볼까요?

피타고라스의 수의 배수

피타고라스의 수에 적당한 수를 곱한 수들 역시 피타고라스의 수예요.

(3, 4, 5)뿐 아니라 여기에 2를 곱한 (6, 8, 10), 3을 곱한 (9, 12, 15), … 등이 피타고라스의 수예요.

마찬가지로 (5, 12, 13)뿐 아니라 여기에 2를 곱한 (10, 24, 26), 3을 곱한 (15, 336, 39), … 등이 피타고라스의 수예요.

세 변의 길이가 a, b, c면 a² + b² = c²이 성립해요.

삼각형을 m(m > 0)배 하면, 즉 세 변의 길이에 × m 하면, 세 변의 길이는 ma, mb, mc가 되겠죠?

(ma)² + (mb)² = (mc)²
m²a² + m²b² = m²c²
a² + b² = c² (∵ 양변 ÷ m²)

3번 줄에서 등식의 성질을 이용해서 양변을 m²으로 나눴더니, 그대로 피타고라스의 정리가 성립하죠?

1부터 홀수를 연속 더해서

1부터 홀수를 연속더하면 벌어지는 일이라는 글에서 1부터 홀수를 연속해서 더하면 그 값은 (더한 숫자의 개수)²이 된다고 했어요.

1부터 홀수를 연속해서 5개를 더하면 그 값은 5²이고, 10개 더하면 그 값은 10², n개 더하면 n²이에요.

(1 부터 연속된 홀수 n개의 합) = n²
(1 부터 연속된 홀수 n개의 합) + (n + 1번째 홀수) = n² + (n + 1번째 홀수)
(1 부터 연속된 홀수 n개의 합) + (n + 1번째 홀수) = (n + 1)²

2번째 줄에서 양변에 (n + 1)번째 홀수를 더했어요.

(n + 1)번째 홀수를 더했으니까 전체 홀수의 개수가 (n + 1)개라서 3번 줄의 우변이 (n + 1)²이에요.

2, 3번째 줄의 좌변이 같으니까 우변끼리도 같다고 할 수 있죠?

n² + (n + 1번째 홀수) = (n + 1)²

여기서 (n + 1번째 홀수)가 5², 7², 9², 11², … 처럼 제곱인 홀수라면 (제곱) + (제곱) = (제곱)꼴이라서 피타고라스의 정리를 만족해요.

(n + 1)번째 홀수가 5² = 25라고 해보죠. 25는 13번째 홀수예요. n + 1 = 13이니까 n = 12를 위 식에 대입해보죠.

n² + (n + 1번째 홀수) = (n + 1)²
12² + 5² = 13²

즉, (5, 12, 13)이 피타고라스의 수라는 걸 알 수 있어요.

(n + 1)번째 홀수가 9² = 81일 때, 81은 41번째 홀수예요. n + 1 = 41, n = 40
40² + 9² = 41²

(9, 40, 41)도 피타고라스의 수네요.

(n + 1) 번째 홀수	n + 1	n	피타고라수의 수
3²	5	4	(3, 4, 5)
5²	13	12	(5, 12, 13)
7²	25	24	(7, 24, 25)
9²	41	40	(9, 40, 41)
11²	61	60	(11, 60, 61)
…	…	…	…

곱셈공식의 변형을 이용해서

고등학교 때 공부하는 곱셈공식의 변형중에 이런 공식이 있어요.

(a + b)² = (a - b)² + 4ab

여기서도 4ab가 제곱인 수라면 (제곱) = (제곱) + (제곱)꼴이므로 피타고라스의 정리를 만족해요.

a = x², b = ²이라고하면,

(a + b)² = (a - b)² + 4ab
(x² + y²)² = (x² - y²)² + 4x²y²
(x² + y²)² = (x² - y²)² + (2xy)²

x, y에 아무 수나 대입해서 위 식을 만족하는 a + b, a - b, $\sqrt{4ab}$를 찾으면 그게 피타고라스의 수예요.

삼각형 변의 길이니까 a - b > 0죠? a > b, 즉 x > y이기만 하면 돼요.

a + b = x² + y²
a - b = x² - y²
$\sqrt{4ab}$ = 2xy

x	y	a + b (x² + y²)	a - b (x² - y²)	$\sqrt{4ab}$ (2xy)	피타고라수의 수
2	1	5	3	4	(3, 4, 5)
3	1	10	8	6	(6, 8, 10)
3	2	13	5	12	(5, 12, 13)
4	1	17	15	8	(8, 15, 17)
4	2	20	12	16	(12, 16, 20)
…	…	…	…	…	…

위 규칙에 따라서 직접 피타고라스의 수를 찾아보세요. 더 재미있을 거예요.

1부터 홀수를 더하면 벌어지는 일. 사각수

수학방 — Mon, 9 Feb 2026 13:33:51 +0900

1부터 홀수를 연속해서 더했을 때 보이는 재미있는 규칙에 대한 설명글입니다. 이 규칙이 성립하는 이유를 사각수, 그림, 등차수열의 합을 통해서 확인할 수 있습니다.

1부터 홀수를 연속해서 더하면 재미있는 규칙을 찾을 수 있어요. 그 규칙을 알아보고, 그림과 수학 개념을 이용해서 이해해보죠.

1부터 연속해서 홀수를 더하면?

1부터 홀수를 계속 더해보죠.

1 = 1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
…

우변의 숫자들의 모양을 바꿔볼께요.

1 = 1 = 1¹
1 + 3 = 4 = 2²
1 + 3 + 5 = 9 = 3²
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5²
…

우변이 모두 제곱인 수로 바뀌었어요. 순서대로 1, 2, 3, 4, 5, …의 제곱이에요.

다른 말로도 표현할 수 있어요.

좌변에서 더해지는 숫자의 개수가 3개면 우변은 3²이에요. 좌변의 숫자가 5개면 우변은 5²고요. 좌변에서 더해지는 숫자의 개수만큼 제곱합니다.

사각수, 그림으로 이해하기

좌변의 홀수들을 바둑돌로 표시해 볼까요?

바둑돌 1개에 니은(ㄴ)을 거꾸로 한 모양의 바둑돌을 계속 더해가는 그림이에요. 그림으로 보니까 이해하기 더 쉽나요?

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이렇게 사각형 모양으로 나타낼 수 있는 수를 사각수라고 해요. 자연수의 제곱으로 나타낼 수 있어서 제곱수라고도 하고요.

등차수열로 이해하기

홀수를 수열로 나타내면 첫째항이 1이고, 등차가 2인 등차수열이에요.

a₁ = 1, d = 2인 수열의 일반항은 a_n = a₁ + (n - 1)d = 1 + (n - 1) × 2 = 2n - 1

좌변은 홀수의 합이니까 등차수열의 합 공식으로 나타낼 수 있죠?

a₁ = 1, d = 2인 수열의 제1항부터 제n항까지의 합

\[ \begin{align}S_{n} &= \frac{n\{2a + (n-1)d\}}{2}\\ &= \frac{n\{2 + (n-1) \times 2\}}{2}\\ &= \frac{n(2 + 2n - 2)}{2}\\ &= n^{2}\end{align} \]

좌변의 항의 수가 n개라면 우변은 그 제곱인 n²이에요.

1 + 3 + 5 + 7 + + (2n - 1) = n²

그림으로도 식으로도 이해할 수 있기를 바라요.

이 특징을 활용해서 피타고라수의 수를 찾으러 가볼까요?

거듭제곱, 거듭제곱근, 로그의 관계

수학방 — Mon, 2 Feb 2026 12:52:55 +0900

거듭제곱, 거듭제곱근, 로그의 정의와 관계에 대해서 숫자를 직접 대입하여 설명합니다. 세 가지는 같은 식에서 변형된 것으로 따로 공부하는 것보다 묶어서 공부하는 게 이해하는데 도움이 됩니다.

거듭제곱, 거듭제곱근, 로그의 관계에 대해서 알아보죠. 이 세가지는 하나의 식에서 유도되는 거라서 관계만 잘 알고 있으면 값을 구하는 것도 쉬워요.

3을 4번 곱한 3⁴은 얼마인가요? 3⁴ = 81이죠? 이걸 거듭제곱이라고 해요.

이번에는 어떤 수를 4번 거듭제곱해야 81이 되는지 구해보죠. x⁴ = 81

4번 거듭제곱해서 81이 되는 수를 x = $\sqrt[4]{81}$이라고 나타내고, 거듭제곱근이라고 하죠.

그럼 3을 몇 번 거듭제곱해야 81이 될까요? 3^x = 81일 텐데, 이걸 구하는 걸 로그라고 해요. x = log₃81

거듭제곱 3⁴에서 3을 밑, 4를 지수라고 했죠? 지수를 오른쪽 위에 조그맣게 썼어요.

로그 log₃81에서 3은 지수에서와 마찬가지로 밑이라고 하고 아래에 조그맣게 써요, 81은 진수라고 하고 보통 크기로 써요.

거듭제곱, 거듭제곱근, 로그의 관계

거듭제곱, 거듭제곱근, 로그에 대한 자세한 설명과 예제 문제도 함께 공부해보세요.

거듭제곱근

<< 대수 >>

로그의 정의

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