거듭제곱근의 근호 풀기
거듭제곱의 거듭제곱근을 풀 수 있는 두 가지 간단한 규칙을 설명합니다. 기본 여섯가지 상황에서 한가지 예외적인 상황만 따로 외우면 나머지 다섯 상황에서 공통된 규칙을 적용할 수 있어서 문제를 쉽게 풀 수 있습니다.
거듭제곱근의 성질에 기본적인 내용이 있는데, 이게 어려워요. 그래서 조금 더 쉽게 외울 수 있도록 약간 설명을 더 추가할게요. 어렵긴 하지만 먼저 저 글을 읽어보세요.
중 3때, 제곱근의 근호 풀기에서 근호 안에 제곱인 수가 있으면 제곱근을 풀 수 있다고 했어요. 마찬가지로 거듭제곱근 안에 거듭제곱인 수가 있으면 거듭제곱근을 풀 수 있어요.
여기서 헷갈리는 건 수가 아니라 부호잖아요. 그 부호를 어떻게 결정하는지 알아보죠.
$$\sqrt{a^{2}} = a\\ \sqrt[n]{a^{n}} = a\quad or\quad -a$$
실수인 거듭제곱근에서 a의 부호(양수,0, 음수)와 n이 짝수인지 홀수인지에 따라 6가지 경우의 수가 생기는 걸 공부했어요. 실수가 생기지 않는 1가지 경우를 제외하고 나머지 경우는 모두 실수인 거듭제곱근이 있었죠?
여기서도 같은 조건의 6가지 경우를 다룰 거고, 1가지 경우를 제외한 다른 5가지 경우에 공통으로 적용되는 성질을 외울 거예요.
같은 내용인데, 어디를 기준으로 둘 건지에 따라 외우는 방법이 달라져요.
$\sqrt[n]{a^{n}}$의 근호풀기 - a 기준
첫번째는 a를 기준으로 하는 거예요. a가 양수인지 음수인지요.
n이 홀수이고, a < 0일 때만 음수예요.
n이 홀수이고, a < 0 → $\sqrt[n]{a^{n}}$ = a < 0
그 외에는 |a|로 나와요. a가 양수든 음수든 0이든 n이 짝수든 홀수든 상관없이 무조건 |a|예요. a ≠ 0이면 양수고, a = 0이면 0이에요.
$\sqrt[n]{a^{n}}$ = |a| > 0
| a > 0 | a = 0 | a < 0 | |
|---|---|---|---|
| n이 짝수 | $\sqrt[n]{a^{n}} = |a|$ ≥ 0 | ||
| n이 홀수 | $\sqrt[n]{a^{n}} = a$ < 0 | ||
$\sqrt[n]{a^{n}}$의 근호풀기 - n 기준
두 번째는 n을 기준으로 하는 거예요. n이 짝수인지 홀수인지요.
n이 짝수이고, a < 0일 때는 부호가 반대인 양수 |a|로 나와요.
$\sqrt[n]{a^{n}}$ = |a| > 0
그 외에는 a 그대로 나오는데, 부호는 원래 a의 부호로 나와요. a > 0이면 양수 a로, a < 0면 음수 a로요. a = 0이면 당연히 0이죠.
$\sqrt[n]{a^{n}}$ = a
| a > 0 | a = 0 | a < 0 | |
|---|---|---|---|
| n이 짝수 | $\sqrt[n]{a^{n}} = a$ 원래 a와 같은 부호 |
$\sqrt[n]{a^{n}} = |a|$ 부호 반대 |
|
| n이 홀수 | |||
참고로, 실수인 거듭제곱근에서 n이 짝수고 a < 0일 때, 실수인 거듭제곱근이 없는데, 여기서는 어떻게 근호를 풀 수 있냐고 생각할 수 있는데, 근호 안의 a는 음수지만 an은 짝수 제곱인 양수라서 괜찮아요.
두 경우 모두 결과는 같으니까 둘 중 편한 방법을 골라서 외우세요.
다음을 간단히 하시오.
(1) $\sqrt[4]{3^{4}}$ (2) $\sqrt[4]{(-3)^{4}}$
(3) $\sqrt[5]{3^{5}}$ (4) $\sqrt[5]{(-3)^{5}}$
거듭제곱근호 안에 거듭제곱인 수가 있어요. 근호를 풀 때 숫자는 그대로 쓰면 되는데, 부호를 어떻게 할 건가가 중요해요.
첫 번째 방법에서는 n이 홀수고, a < 0일 때는 음수, 그 외에는 |a|예요. 주어진 수가 모두 양수 3이니까 |3| = |-3| = 3이겠네요.
n이 홀수고, a < 0인 경우는 (4)번 뿐이네요.
(4) $\sqrt[5]{(-3)^{5}}$ = -3.
나머지는 모두 |a|이므로
(1) $\sqrt[4]{3^{4}}$ = 3
(2) $\sqrt[4]{(-3)^{4}}$ = |-3| = 3
(3) $\sqrt[5]{3^{5}}$ = 3
두 번째 방법으로 해보죠.
n이 짝수고 a < 0일 때는 부호가 반대인 양수로 바뀌고, 나머지 경우에는 원래 부호 그대로 나와요.
n이 짝수고, a < 0인 건 (2)번 이네요.
(2) $\sqrt[4]{(-3)^{4}}$ = |-3| = 3
나머지는 모두 원래 부호 그대로 a이므로
(1) $\sqrt[4]{3^{4}}$ = 3
(3) $\sqrt[5]{3^{5}}$ = 3
(4) $\sqrt[5]{(-3)^{5}}$ = -3