원주각과 중심각의 크기, 원주각의 성질
이 글에서는 원주각과 중심각의 의미와 그 성질에 대해서 공부합니다.
1학년 때 원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 중심각에서 중심각이 뭔지는 공부했어요. 중심각은 부채꼴에서 호와 반지름 두 개로 이루어진 각을 말했는데요.
이 글에서는 부채꼴이 아니라 호에 대해서 배우니까 호의 중심각이라고 합니다. 호의 중심각과 부채꼴의 중심각은 그림이 똑같아요. 다만 기준을 어디에 두고 보느냐에 따라 이름이 달라지는 것 뿐이죠.
원주각의 뜻과 성질, 그리고 원주각과 중심각의 관계에 대해서 알아보죠.
원주각과 중심각의 크기
원주각은 이름 그대로 원주, 즉 원의 둘레에 있는 각 이에요. 그러니까 원 위에 있는 각인데, 그냥 원 위에 있는 게 아니에요. 원 위에 
중심각은
원주각 = $\frac{1}{2}$ 중심각
중심각은 원주각의 두 배에요.
이 성질은 중학교 2학년 <삼각형 외심의 활용>에서 공부했던 내용을 살짝만 바꾸면 돼요. 삼각형의 외심을 활용하여 원주각과 중심각 크기의 관계 이해하기에 자세히 설명되어 있어요.
다른 방법으로 확인해볼까요? 세 가지 경우로 나누어서 확인해보죠.
원의 중심 O가 ∠APB위에 있을 때
△OBP에서 
1학년 때 삼각형 내각과 외각의 크기에서 (한 외각의 크기) = (다른 두 내각 크기의 합)이라는 걸 공부했죠? ∠AOB = ∠OBP + ∠OPB = 2∠OPB = 2∠APB
∠AOB = 2∠APB
원의 중심 O가 ∠APB 내부에 있을 때
점 P와 점 O를 연결하는 선을 하나 그어보죠. 이 선이 원주와 만나는 점을 점 Q라고 할게요.
△OAP와 △OBP가 생기는데요.
△OAP에서
= 반지름 r이므로 △OAP는 이등변삼각형이에요. 이등변삼각형에서는 두 밑각의 크기가 같으니까 ∠OAP = ∠OPA죠.
삼각형에서 (한 외각의 크기) = (다른 두 내각 크기의 합)이므로 ∠AOQ = ∠OAP + ∠OPA = 2∠OPA
△OBP에서
삼각형에서 (한 외각의 크기) = (다른 두 내각 크기의 합)이므로 ∠BOQ = ∠OBP + ∠OPB = 2∠OPB
중심각 ∠AOB = ∠AOQ + ∠BOQ = 2∠OPA + 2∠OPB = 2(∠OPA + ∠OPB) = 2∠APB입니다.
따라서 ∠AOB = 2∠APB.
원의 중심 O가 ∠APB 외부에 있을 때
점 P와 점 O를 연결하는 선을 하나 긋고 이 선이 원주와 만나는 점을 점 Q라고 할게요. △OAP와 △OBP가 생기는데요.
△OAP에서
삼각형에서 (한 외각의 크기) = (다른 두 내각 크기의 합)이므로 ∠AOQ = ∠OAP + ∠OPA = 2∠OPA
△OBP에서
삼각형에서 (한 외각의 크기) = (다른 두 내각 크기의 합)이므로 ∠BOQ = ∠OBP + ∠OPB = 2∠OPB
중심각 ∠AOB = ∠BOQ - ∠AOQ = 2∠OPB - 2∠OPA = 2(∠OPB - ∠OPA) = 2∠APB입니다.
따라서 ∠AOB = 2∠APB.
원주각의 성질
한 원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같다.
세 경우를 봤는데, 모두 원주각의 크기는 중심각 크기의 절반이었어요. 세 원주각의 크기가 같다는 얘기잖아요. 원주각의 위치에 상관없이 원과 호가 같으면 원주각의 크기도 같아요.
지름에 대한 원주각의 크기는 90°
이번에는 중심각이 평각인 180°일 경우를 보죠.
중심각이 평각이면 현인 $\overline{AB}$가 지름이고
반대로 원주각이 90°라면 중심각이 180°고, 이때 $\overline{AB}$는 지름,
원주각의 크기가 90°라는 건 지름을 빗변으로 하는 직각삼각형이 만들어진다는 거예요. 삼각비, sin, cos, tan, 피타고라스의 정리와 관련된 문제가 출제된다는 것도 예상할 수 있겠죠?
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